Sophie Germain, la détermination d’une mathématicienne à l’aube du 19e siècle

Il est difficile d’évoquer le nom de mathématiciennes avant le milieu du 19^e siècle. On peut certes mentionner Émilie du Châtelet (1706-1749), traductrice de Newton, ou à l’inverse la britannique Mary Sommerville (1780-1872), traductrice de Laplace, notre « Newton français », mais il faut bien reconnaître que ce sont plus des commentatrices éclairées que de véritables créatrices de science.

 

 

Le manque de parité parmi les scientifiques est criant et notre académie s’apprête à publier un rapport sur ce triste constat. Il nous faut trouver des exemples susceptibles d’encourager les jeunes filles à s’orienter vers les disciplines scientifiques. Sophie Germain constitue à cet égard un excellent modèle.

Mais prenons garde à deux écueils.

D’une part celui de l’anachronisme. Il faut bien sûr analyser et commenter le machisme de nos prédécesseurs, mais il est inutile de les juger selon nos normes contemporaines. Contentons-nous de condamner notre machisme actuel et d’essayer de le réduire !

D’autre part, attention aux images reconstruites. Pensez par exemple à Marie Curie, souvent présentée aujourd’hui comme une « sainte républicaine », ayant consacré sa vie à la religion « Science », en sacrifiant tout le reste. Est-ce vraiment le modèle que nous souhaitons présenter aux jeunes ? Ne peut-on être scientifique sans être nécessairement un(e) saint(e) ?

Sophie Germain est née à Paris en 1776 dans une famille aisée et elle est morte en 1831. Elle a donc traversé une période mouvementée de notre histoire nationale. Elle a manifesté très tôt un goût prononcé pour les mathématiques, en bonne partie grâce à deux ouvrages présents dans la bibliothèque familiale.

Je vais tenter de vous décrire très succinctement son œuvre scientifique mais il me faut d’abord vous dire que la plupart des historiens des sciences considèrent que cette œuvre n’est pas majeure et que, par ailleurs, elle a commis un certain nombre d’erreurs. Comment pourrait-il en être autrement quand elle n’avait pas accès à la documentation scientifique, quand l’École polytechnique n’était pas accessible aux femmes (jusque 1972 !), et quand elle devait se mesurer à des géants, comme Euler, Gauss, Laplace, Lagrange et Poisson, pour ne citer qu’eux. Selon moi, le plus important, avant même ses contributions, est sa détermination, sa hargne, son avidité, son culot, pour avancer dans la science en fonçant droit devant, sans hésitation. Voilà un beau message pour la jeunesse !

Ses contributions scientifiques sont de deux ordres très différents : théorie des nombres et théorie de l’élasticité.

En théorie des nombres, elle a été fascinée, comme tant d’autres, par le célèbre problème de Fermat. Montrer que la somme des puissances n-èmes de deux entiers ne peut pas être une puissance n-ème, dès que n≥3. Euler l’avait montré pour n=3 et n=4 mais le mystère restait entier pour n≥5. Sophie Germain a cru pouvoir le démontrer pour toutes les valeurs de n, mais Legendre lui montrera une erreur.

Mais il n’empêche qu’elle l’a démontré pour beaucoup de valeurs de n ! On dit qu’un nombre premier n est un nombre premier de Sophie Germain si 2n+1 est aussi premier. Par exemple le nombre premier 5 est de cette sorte car 2×5+1=11 est aussi premier, mais 7 ne l’est pas car 2×7+1=15 n’est pas premier. Sophie Germain résout le problème de Fermat lorsque n est un nombre de…  Sophie Germain : pas mal du tout ! Elle ne le publiera pas. Ce sera publié dans un livre de Legendre qui citera Sophie Germain dans une note en bas de page. Aujourd’hui on conjecture encore qu’il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain. Depuis1995, le problème de Fermat est enfin résolu dans sa généralité, par Wiles.

Le deuxième thème qui a occupé Sophie Germain est celui de la vibration de surfaces élastiques. Depuis Bernoulli et Euler, on connaissait bien la dynamique des cordes vibrantes, comme les cordes de guitare.

Mais qu’en était-il pour une surface, comme celle d’un tambour ou de cymbales ? En 1808, Ernst Chladni était venu à l’Académie des sciences et y avait présenté des expériences restées célèbres, en présence de Napoléon I^er. On saupoudre du sable sur un tambour qui vibre et on observe que le sable s’accumule le long de courbes dont la géométrie est fascinante.

C’est ce que Germain a cherché à comprendre, en réponse à des concours lancés par l’académie des sciences, à l’initiative de l’empereur. Les mémoires qu’elle envoie sont longs, pas toujours convaincants, parfois faux, mais il y une idée importante qui a joué un rôle majeur dans toute la suite, en mathématiques comme en physique : le concept de courbure moyenne. Ses travaux se situent entre deux articles fondateurs de la géométrie des surfaces : Euler en 1740 qui définit les courbures principales et Gauss en 1821 qui publie son éblouissant Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas.

Mais lorsqu’on dispose d’une surface dans l’espace, comment mesurer sa courbure ?  Euler a l’idée de couper la surface par des plans perpendiculaires à la surface et de faire tourner ces plans autour de la droite normale. On obtient ainsi des courbes dont on peut évaluer les courbures. Euler montre que ces courbures passent par un maximum et un minimum pour deux plans perpendiculaires : ce sont les deux courbures principales. Si une surface élastique se déforme, quelle sera la force de rappel ? Quelle est la bonne courbure qui expliquera la dynamique ?

Dans les quatre mémoires de Sophie Germain, elle écrira toujours avec détermination qu’il faut considérer la moyenne des deux courbures principales. On aurait pu penser à beaucoup d’autres choses, par exemple le produit des deux courbures mais elle insiste sur la moyenne. Même si ses arguments ne sont pas toujours convaincants, elle a raison, et la courbure moyenne était promise à un brillant avenir, aussi bien en maths qu’en physique. Bien sûr il y a surface et surface : un tambour, des cymbales, une surface de caoutchouc, ou encore une membrane biologique, toutes ces surfaces ont des physiques différentes et cela, ni Germain ni Laplace ni Poisson ne pouvaient l’analyser bien sûr. Le produit des deux courbures s’appelle aujourd’hui la courbure gaussienne, à juste titre, suite à la révolution des Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas qui mènera ensuite au tenseur de courbure de Riemann, mais c’est une autre histoire.

Il en fallait de l’énergie pour aborder ces questions quand on était une femme au début du 19ème siècle, surtout pendant ces temps révolutionnaires où il n’était pas bon pour une jeune fille de bonne famille de sortir dans Paris !

Sophie Germain s’est formée en autodidacte, d’abord en lisant le Cours de mathématiques à l’usage des gardes du pavillon et de la marine de Bézout et l’Histoire des mathématiques de Montucla qui se trouvaient chez elle. Il a fallu convaincre ses parents qu’une jeune fille pouvait s’intéresser aux mathématiques plutôt que de chercher un bon parti. Ses parents finiront par comprendre. Mais cela ne suffisait pas : l’École polytechnique ouvre en 1794 et le célèbre Lagrange en est l’un des premiers professeurs. Elle obtient des copies de ses cours et lui pose des questions par écrit en prenant un pseudonyme masculin : « Antoine Augustin Leblanc ». Lagrange répond, trouve les questions pertinentes, convoque Monsieur Leblanc, et découvre une jeune femme de 18 ans, sans s’offusquer du stratagème Leblanc. Ils resteront toujours en contact par la suite.

Pour avancer, il fallait lire Newton et Euler, qui écrivaient en latin. Elle apprend seule le latin avec cette unique motivation.

En fait, elle entrera en contact épistolaire avec les principaux mathématiciens de son époque. Pour certains, comme Legendre, toujours gentil avec tout le monde, ce seront de bons conseillers. Pour d’autres, comme Poisson, ce sera au contraire une vive concurrence, à vrai dire très inégale, le pot de terre contre le pot de fer, l’autodidacte Germain contre Poisson, une sorte de rouleau compresseur scientifique.

L’épisode le plus intéressant se situe lorsque Sophie Germain écrit à Gauss, bien sûr sous le nom de Monsieur Leblanc. En 1801, Gauss venait de publier Disquisitiones Arithmeticae, qui bouleverse l’arithmétique au point qu’on dit souvent que ce livre marque la transition entre l’arithmétique et la théorie des nombres. Il fallait du culot pour que cette jeune femme ose écrire à Gauss, qu’on surnomme le prince des mathématiques. Aujourd’hui, on dirait qu’elle n’avait pas froid aux yeux ! Gauss répond et une dizaine de lettres s’échangent. En 1804, elle s’inquiète car les troupes de Napoléon vont passer par Brunswick où Gauss habitait à l’époque. Elle demande à un général de ses connaissances de protéger Gauss, ce dont il s’acquitte. Mais lorsque le général mentionne le nom de Sophie Germain, Gauss répond qu’il n’a jamais entendu parler d’elle et le pot aux roses est découvert : Monsieur Leblanc est en fait M^lle Germain. Gauss lui écrit alors une longue lettre dont voici un extrait :

« Comment vous décrire mon admiration et mon étonnement en voyant se métamorphoser mon correspondant estimé, M. Leblanc, en cet illustre personnage, qui donne un exemple aussi brillant de ce que j’aurais peine de croire ? (…)  Le goût pour les sciences abstraites en général et surtout pour les mystères des nombres est fort rare : on ne s’en étonne pas ; les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se décèlent dans toute leur beauté qu’à ceux qui ont le courage de l’approfondir.  Mais lorsqu’une personne de ce sexe, qui, par nos mœurs et par nos préjugés, doit rencontrer infiniment plus d’obstacles et de difficultés, que les hommes, à se familiariser avec ses recherches épineuses, sait néanmoins franchir ces entraves et pénétrer ce qu’elles ont de plus caché, il faut sans doute, qu’elle ait le plus noble courage, des talents tout à fait extraordinaires, le génie supérieur. »

 

Ses travaux sur les surfaces élastiques vont être élaborés par étapes.

D’abord un mémoire soumis en octobre 1811, en réponse à un concours de l’Académie. Il est malheureusement faux.

« J’avais commis des erreurs graves — écrira-t-elle— il ne fallait qu’un coup d’œil pour les apercevoir : on aurait donc pu condamner la pièce sans prendre la peine de la lire. Heureusement, un des commissaires, M. de Lagrange, remarqua l’hypothèse ; il en déduisit l’équation que j’aurais dû donner moi-même, si je m’étais conformée aux règles du calcul. »

Quel bel exemple d’intégrité scientifique !

Fourier, qui était secrétaire perpétuel à l’époque, lui accorde un « grand privilège » : elle est autorisée à assister aux séances publiques de l’Académie ! Je rappelle qu’à l’époque, aucune séance n’était accessible aux femmes. Voici sa lettre, datée du 30 mai 1823, soit huit ans après son prix !

 

Mademoiselle,

J’ai l’honneur de vous prévenir que toutes les fois que vous vous proposerez d’assister aux séances publiques de l’Institut, vous y serez admise dans l’une des places réservées au centre de la salle. L’Académie des Sciences désire témoigner par cette distinction tout l’intérêt que lui inspirent vos ouvrages mathématiques et, spécialement, les savantes recherches qu’elle a couronnées en vous décernant un de ses grands prix annuels.

Agréez, Mademoiselle, l’hommage de mon respect.

Fourier.

Ainsi, c’est à force de volonté et de détermination que Sophie Germain a réussi à pénétrer, un peu, dans le milieu scientifique fermé du début du 19ème siècle.

Elle meurt le 27 juin 1831, au numéro 13 de la rue de Savoie à Paris, à quelques centaines de mètres d’ici, suite à un cancer du sein.

Un certain nombre de rues, écoles, ou lycées, etc. portent aujourd’hui le nom de Sophie Germain. C’est aussi le cas pour l’un des deux sites de l’Institut Mathématique de Jussieu. Le prix Sophie-Germain de l’Institut, remis chaque année sur proposition de l’Académie des sciences est destiné à couronner un chercheur ayant effectué un travail de recherche fondamentale en mathématiques. Depuis sa fondation en 2003, 21 lauréats ont reçu ce prix, dont… hum, hum… deux femmes. Allons-nous corriger cela ?

 

Étienne Ghys
Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences

 

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Crédits des illustrations

• Figure 1 : Portrait de Gabrielle-Émilie Le Tonnelier de Breteuil (1706–1749), Marquise du Châtelet, par un peintre anonyme (source). Tableau peint entre 1750 et 1759, conservé au Nationalmuseum de Stockholm (Suède). Domaine public.
• Figure 2 : Portrait de Mary Fairfax, épouse Sommerville (1780-1872), par Thomas Phillips (source). Tableau peint en 1834, conservé à la National Scottish Gallery d’Édimbourg (Royaume-Uni). Domaine public.
• Figure 3 : Portrait de Sophie Germain (source), dessiné d’après un buste sculpté (artiste et lieu de conservation inconnus – source).
• Figure 4 : Photographie d’un exemple de figure acoustique de Chladni. Source inconnue.
• Figure 5 : Oscillations d’une corde vibrante. Figure fournie par l’auteur. CC-BY 4.0.
• Figure 6 : Deux plans perpendiculaires pour mesurer une courbure. Figure fournie par l’auteur. CC-BY 4.0.
• Figure 7 : Lettre d’admission de Sophie Germain à l’Académie des sciences (source). Domaine public.
• Figure 8 : Pierre tombale de Sophie Germain, dans la 16e division du cimetière du Père-Lachaise à Paris. D’après une photographie prise par Miek Messerschmidt le 5 septembre 2011 (source), recadrée par l’auteur. Œuvre originale et œuvre dérivée sous licences CC-BY-SA 3.0.

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