Poisson et les erreurs judiciaires

Portrait de Siméon Denis Poisson (1781-1840), mathématicien, géomètre et médecin français.

 

Dans la série des erreurs en science, je voudrais parler des erreurs judiciaires.

Siméon Denis Poisson n’est pas connu du grand public, mais il a une œuvre immense en physique et en mathématiques. Né en 1781, mort en 1840, il a été élu à l’Académie des sciences en 1812.

Je voudrais dire quelques mots de son livre Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et matière civile, qui date de 1837.

Peut-on estimer le nombre de personnes qui ont été condamnées à tort, pour un crime qu’elles n’ont pas commis ? Peut-on estimer le nombre de personnes qui ont été acquittées à tort, pour un crime qu’elles ont commis ? C’est la question que Poisson étudie.

Il n’est pas le premier à étudier ce genre de questions. Au moins deux mathématiciens célèbres l’ont précédé :

Aujourd’hui, c’est du livre de Poisson que je voudrais parler. Il contient beaucoup de choses, comme une description de la Loi des grands nombres, mais aussi la fameuse Loi de Poisson, dite « des événements rares ».

Voici le problème que se pose Poisson dans ce livre, typique des mathématiques de son époque, qui se veulent (enfin !) utiles à la société.

Entre 1825 et 1830, les cours d’assises fonctionnaient de la façon suivante : un jury comprenant douze jurés votait pour décider de la culpabilité d’un inculpé. Lorsque l’opinion était majoritaire pour la culpabilité avec au moins huit voix contre quatre, l’inculpé était condamné. Lorsque la majorité était de sept contre cinq, on faisait appel à cinq juges professionnels pour prendre la décision.

Poisson dispose de statistiques publiées dans les Comptes généraux de l’administration de la justice criminelle. Il connaît le nombre total de procès en cours d’assises en France pendant ces six années (11016 accusés de « crimes contre les personnes ») et il connaît parmi ceux-ci le nombre de condamnations à la majorité d’au moins huit jurés, ainsi que le nombre de fois où il a fallu faire appel aux juges professionnels. Il connaît donc deux proportions :

  • La proportion a des inculpés qui sont condamnés par une majorité d’au moins huit jurés. Il trouve a=0,4782.
  • La proportion b des inculpés pour lesquels il y a eu exactement sept des douze jurés qui ont voté coupable. Il trouve b=0,1151.

Selon Poisson, il y a deux inconnues dans ce problème :

  • La probabilité x pour qu’un inculpé qui se présente devant le tribunal soit coupable.
  • La probabilité y pour qu’un juré tiré au hasard ne se trompe pas lorsqu’il vote.

Poisson se fait un devoir de montrer comment on peut calculer a et b en fonction de x et y. Aujourd’hui, ce n’est pas très difficile à faire mais il faut retenir que puisqu’on connaît a et b, on a ainsi deux équations à deux inconnues, et on peut donc espérer calculer x et y (autant d’équations que d’inconnues). Certes, ces équations sont de degré … 24. Mais cela n’effraie pas Poisson qui trouve facilement les solutions, sans avoir besoin de logiciel de calcul ! Il trouve :

x≃0,54;y≃0,68

Ainsi, un juré a raison deux fois sur trois et un inculpé est coupable 54 fois sur 100. Bien sûr, Poisson estime l’incertitude sur ces chiffres. Intéressant.

Poisson ne s’arrête pas là. Il peut maintenant calculer la probabilité qu’un condamné le soit à tort. Il trouve 0,02 (cela fait environ 18 cas par an). De même, il trouve une probabilité 0,72 qu’un inculpé déclaré innocent le soit effectivement. Deux pour cent d’innocents dans les prisons ? Vingt-huit pour cent d’innocentés qui sont en fait coupables ? Est-ce trop ? Certainement ! Mais une discussion passionnante commence : quelle est la limite qu’une société « juste » peut se permettre ?

Dans cette importante question d’humanité et d’ordre public, rien ne pourrait remplacer les formules analytiques qui expriment ces diverses probabilités. Sans leur secours, s’il s’agissait de changer le nombre de jurés, ou de comparer deux pays où il fût différent, comment saurait-on qu’un jury constitué de douze personnes, et jugeant à la majorité de huit voix contre quatre, offre plus ou moins de garanties aux accusés et à la société qu’un autre jury composé de neuf personnes par exemple, pris sur la même liste qu’auparavant et jugeant avec telle ou telle majorité ?

Mais Poisson ne s’arrête toujours pas là ! Dans les cas où la majorité n’est que de sept contre cinq, les juges professionnels entrent en action et on connaît également le nombre de cas où ils ont prononcé une condamnation. On peut donc refaire l’exercice et calculer la probabilité pour qu’un juge professionnel se trompe lorsqu’il évalue la culpabilité d’un inculpé. Poisson trouve que cette probabilité est égale à celle des jurés populaires !

Malgré une plus grande expérience des procès criminels que les juges ont sans doute, leur chance de ne pas se tromper dans leur vote paraît cependant peu différente de celle des jurés.

Vous vous en doutez, Poisson continue encore. Il cherche à savoir quelle est la bonne taille d’un jury, quelle est la bonne majorité qu’il faudrait exiger pour condamner ; il compare les systèmes français, belges et anglais. Bien sûr, tout cela est complexe, parfois les jurés votent à bulletins secrets, mais pas toujours ; parfois les jurés peuvent déclarer des circonstances atténuantes, et cela les encourage à être moins hésitants à voter coupable. Les valeurs de x et semblent différentes pour les « crimes contre les personnes » et pour les « crimes contre les biens ». Poisson discute de tout cela.

Le livre est long (parfois un peu trop peut-être), mais l’introduction ne fait que vingt pages ; elle est très agréable à lire et ne contient aucune formule mathématique. Elle nous montre un des premiers exemples de recherche mathématique en sciences humaines et j’en recommande vivement la lecture.

Aujourd’hui, un procès d’assises comprend neuf jurés (douze en appel), et la décision de culpabilité est prise à une majorité d’au moins huit jurés (dix en appel). En 2021, les cours d’assises et les cours criminelles départementales ont condamné en premier ressort 2 900 personnes et en ont acquitté 155, soit un taux d’acquittement de 5,1 %. Près d’une personne jugée sur dix est mineure. 31 % des arrêts rendus ont été frappés d’appel.

Les cours d’assises d’appel ont prononcé 530 arrêts portant condamnation de 760 personnes et 50 acquittements. Le taux d’acquittement en appel (6,3 %) est plus élevé qu’en premier ressort (5,1 %).

Mais bien sûr, toute comparaison avec les chiffres de 1825 serait audacieuse…

Poisson n’était pas seulement né géomètre ; il était de plus né professeur. Communiquer verbalement à autrui le fruit de ses propres recherches ou les résultats des découvertes des autres mathématiciens semblait chez lui un véritable besoin.

La qualité principale de Poisson, comme professeur, était une incomparable clarté. Peut-être, en cherchant bien, eût-on trouvé, parmi les prédécesseurs ou les contemporains de notre confrère, des professeurs à l’élocution plus facile, à la phrase plus étudiée, plus élégante, mais on n’en citerait certainement pas dont l’enseignement fut plus profitable à son auditoire. En sortant d’une leçon du célèbre académicien, chaque élève était maître de la matière qui y avait été traitée. Est-il beaucoup de professeurs qui pourraient se flatter d’un pareil succès ?

Poisson avait un genre de mérite dont se dispensent trop souvent ceux-là même qui ne pourraient invoquer pour excuse le rang qu’ils occupent dans la science : l’exactitude. Jamais il ne manqua une leçon, à moins d’être retenu au lit par la maladie ; jamais, tant que sa voix put se faire entendre, il ne confia à un suppléant, j’allais dire à une doublure, la satisfaction d’initier aux mystères de la science la jeunesse studieuse.

On dit que Poisson déclarait :

La vie n’est bonne qu’à deux choses : découvrir des mathématiques et enseigner les mathématiques !

Ce billet reprend le contenu du podcast “Poisson et les erreurs judiciaires”, publié le 17 avril 2024 par Étienne Ghys dans le cadre de l’émission Petites histoires de sciences, sur la chaîne Canal Académies. Écouter le podcast


Crédits des illustrations

  • Image introductive : Portrait de Siméon Denis Poisson (1781-1840), mathématicien, géomètre et médecin français. Lithographie de François Séraphin Delpech, antérieure à 1840 (source). D’après un tableau de Nicolas-Eustache Maurin. Domaine public.
  • Figure 1 : Portrait de Nicolas de Condorcet (1743-1794). Date, lieu de conservation et artiste inconnus (source). Domaine public.
  • Figure 2 : Portrait de Pierre-Simon Laplace (1749-1827) par Sophie Feytaud, 1842 (source). Domaine public.



Citer ce billet
Etienne Ghys (2024, 26 avril). Poisson et les erreurs judiciaires. Vie des sciences. Consulté le 13 juin 2024, à l’adresse https://doi.org/10.58079/11qih

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