L’angoisse

Le 15 janvier 2009 à 17:03:48, un message électronique de Bertrand (sujet anodin : « Trans. : relations moyennables ») se glisse dans le flot des mails quotidiens. À l’ouverture du message, c’est l’angoisse :

Bertrand vient de trouver une erreur dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences que j’ai écrite avec un ami, il y a… vingt-quatre ans, !

En deux secondes, je comprends que Bertrand a bien vérifié ce qu’il dit avant d’envoyer son mail et qu’il a probablement raison. Mais il faudrait au moins que je trouve une copie de cet article. Je fouille mon armoire : impossible de mettre la main sur cette vieillerie qui, je le pensais, n’intéressait plus personne. Malheureusement, les articles de cette revue ne sont pas accessibles sur internet¹… Je descends très vite à la bibliothèque, mais les volumes sont archivés lorsqu’ils ont plus de quinze ans d’âge… Bon, finalement, j’obtiens une copie de l’article. Verdict immédiat : Bertrand a raison, la preuve du théorème 2 est fausse. Angoisse confirmée… Tout le monde a horreur des erreurs mais les matheux en ont probablement encore plus peur. On aime les théorèmes corrects !

Le mail de Bertrand.

Vite fait, j’accuse réception du message et je promets d’y réfléchir… Il faut que je rentre à la maison et sur le chemin du retour, je pense à ce théorème. Les souvenirs remontent : mon état d’esprit au moment de cet article, les circonstances précises autour de sa démonstration, les premières tentatives, les échecs. Je me souviens de ce que je cherchais à démontrer et que je n’arrivais pas à faire ; du petit résultat partiel qu’on avait obtenu et gardé en tête pendant près d’un an ; de cette conversation avec Dennis, un collègue, dans laquelle je lui raconte ce petit truc. Je me rappelle son enthousiasme, la façon dont il me félicite pour avoir résolu – presque – une question qui lui semble intéressante. Dennis me conduit immédiatement dans le bureau d’Alain ; je raconte mon truc… ça lui plaît, il m’encourage à écrire très vite une note aux Comptes Rendus de l’Académie.

Et j’apprends vingt-quatre ans plus tard qu’elle est fausse ! Non, ce n’est plus de l’angoisse, mais de la déception, même si je n’ai jamais été très fier de ce « truc »… Mais ce qui me revient aussi, ce sont mes lectures de l’époque, et je prends conscience que je ne ne peux pas avoir fait cette erreur précise. J’avais déjà vu un piège analogue dans un article que j’avais déjà lu alors, et je me souviens bien que j’avais apprécié la parade : une petite astuce à deux sous, mais jolie comme tout.

Alors, sur le chemin du retour je comprends que cette petite astuce à deux sous règle aussi le problème de ma note. Bertrand a raison : la démonstration du théorème 2 n’est pas correcte telle que rédigée, mais avec la petite astuce, on peut réparer ça en trois lignes. Ouf ! tout va bien, plus d’angoisse… Un petit mail à Bertrand pour lui expliquer la petite astuce.

Un détail : Bertrand est l’un de mes anciens étudiants. Désir de tuer le père mathématique ? Je préfère me sentir honoré qu’il lise ce vieux manuscrit…

Un mot peut-être sur la suite de cet article. Je l’ai dit, il ne démontrait pas le théorème que nous voulions démontrer ; il ne le faisait que dans un cas particulier. Mais nous avions posé une question (« un sous-groupe dense d’un groupe de Lie semi-simple contient-il un sous-groupe libre et dense ? »), et nous avions montré qu’une réponse positive à cette question entraînerait la solution du problème général qui nous intéressait vraiment. Un an plus tard, nous recevions la solution du problème général par Zimmer, mais sa preuve nous était incompréhensible et ne passait pas par la question que nous avions posée qui restait donc ouverte. Je me souviens de notre frustration face à la solution générale alors que nous ne comprenions presque rien à la preuve. Et puis, le temps a passé. Et puis, il y a une dizaine d’années, alerte ! Vadim Kaimanovich signale que le théorème 4 de notre note est faux ! Fausse alerte en fait, enfin, demi-alerte en quelque sorte. Le théorème 4 énonce en effet l’équivalence entre deux propriétés P et Q et nous disions simplement « le fait que P entraîne Q est un théorème de M. B., alors nous allons nous contenter de montrer que Q entraîne P ». Et il se trouve que le théorème de M. B. est faux… mais ce qui est contenu dans la note est correct, et c’est la seule chose qui nous importait en fait ! Note maudite ? Nous aurions dû vérifier le théorème de M. B. avant de le citer. La suite de l’histoire est que deux collègues ont complètement répondu à notre question de manière magistrale en 2003, mais il faut bien dire que leur preuve et leurs méthodes vont beaucoup, beaucoup plus loin…

Je me demande si j’aurais dit quelque chose si cette note était vraiment fausse. L’aurais-je avoué publiquement ? Pas facile. Pourtant, il arrive que les mathématiciens soient contraints de publier des Errata à leurs articles. Parfois, c’est une erreur grave qui anéantit tout l’article…

Ce billet reprend le contenu du podcast “L’angoisse de l”erreur”, publié le 18 janvier 2024 par Étienne Ghys dans le cadre de l’émission Petites histoires de sciences, sur la chaîne Canal Académies. Écouter le podcast.

Illustration de couverture : détail des Bourgeois de Calais, sculpture d’Auguste Rodin (1895), conservée au Musée Rodin à Paris. Photographie par Nitot, 2010 (source). CC-BY 3.0.

1. À cette époque du moins. Les anciens numéros des Comptes Rendus de l’Académie des sciences ont depuis fait l’objet d’une campagne de numérisation, et sont disponibles dans le portail Gallica. Les quelques lacunes qui subsistent sont en train d’être comblées avec l’aide de l’infrastructure Persée. [↩]