L’Académie des sciences, les amateurs et la quadrature du cercle

 

L’Académie des sciences reçoit un flux continu de demandes de validations de « découvertes » les plus diverses par toutes sortes d’amateurs plus ou moins éclairés. Est-ce la mission de l’Académie de valider « officiellement » des vérités scientifiques ?

Il n’est pas rare non plus que nous soyons interpelés pour rendre un verdict dans des querelles scientifiques. L’Académie serait-elle une espèce de juge de paix qui a le devoir de dissocier le vrai du faux ? Que faire lorsqu’il s’agit de demandes qui ne semblent pas « sérieuses » au premier abord ? La limite entre le sérieux et le non-sérieux n’est pas facile à définir.

En m’appuyant sur quelques exemples historiques, je voudrais expliquer que ces questions sont peut-être plus délicates qu’il n’y paraît.

 

La décision inhabituelle de l’Académie en 1775

Depuis la fondation de l’Académie des sciences en 1666, les mathématiciens amateurs envoient un grand nombre de « preuves » de la quadrature du cercle. Il faut dire que la distinction entre amateur et professionnel est restée floue au moins jusqu’au début du 19^e siècle.

Le problème de la quadrature du cercle remonte à l’Antiquité et j’expliquerai ce dont il s’agit précisément à la fin de cet article. Il suffit de savoir ici qu’à l’époque presque tous les mathématiciens « sérieux » étaient intimement convaincus depuis longtemps que ce problème est insoluble. On lit dans les Mémoires de l’Académie en 1701 :

Si les Géomètres osaient se prononcer sans des démonstrations absolues, et qu’ils se contentassent de vraisemblances les plus fortes, il y a longtemps qu’ils auraient décidé tout d’une voix que la quadrature du cercle est impossible. 

Ils avaient raison ! Mais cela n’était en aucun cas établi : cela ne sera démontré qu’à la fin du 19^e siècle. Il était donc théoriquement possible, mais très peu probable, qu’une solution correcte de la quadrature du cercle parvienne à l’Académie.

Que faire de ces nombreux manuscrits dont il était à peu près évident qu’ils ne valaient rien ? Fallait-il les analyser en détail au risque de perdre un temps considérable, qui serait bien mieux utilisé par les académiciens sérieux pour des missions plus importantes ? Pendant longtemps, une commission était nommée pour chaque soumission, et un rapport détaillé expliquait à l’auteur où se trouvait l’erreur. Mais il n’est pas facile de trouver une erreur dans un texte, souvent rédigé comme un charabia incompréhensible. Par ailleurs ces amateurs avaient une tendance à ne pas reconnaître leurs erreurs et il s’en suivait un échange infini de lettres avec l’Académie.

Pendant des décennies l’Académie assuma cette tâche ingrate et chronophage mais l’esprit du siècle des Lumières imposait un devoir pédagogique auprès de la population. L’Académie ne pouvait être une assemblée aristocratique de savants déconnectée du peuple.

Mais les fausses preuves de la quadrature du cercle s’accumulaient et les académiciens avaient mieux à faire que déchiffrer des textes qui n’avaient pas de sens. En 1775, les académiciens étaient exaspérés. Le registre manuscrit des procès-verbaux pour la séance du 3 mai 1775, contient ceci :

 À l’occasion du mémoire de M. de la Frainaye, il a été mis en question si on continuerait de recevoir et d’examiner des mémoires sur ce sujet et sur quelques autres semblables dont l’examen emploie sans aucun fruit un temps considérable. Sur quoi l’Académie ayant été aux voix il a été décidé que désormais l’Académie ne recevrait ni n’examinerait aucun mémoire qui ait pour objet la quadrature du cercle.

Voilà qui est intéressant ! L’Académie décidait de ne plus examiner ces mémoires même si elle était consciente que, peut-être, ils pourraient contenir une révolution mathématique. Les Lumières passaient au second plan et l’efficacité l’emportait. Le défenseur le plus convaincu de cette décision fut D’Alembert : il avait une Encyclopédie à écrire !

On trouvera l’histoire détaillée de cette décision inhabituelle dans cet article :

Marie Jacob, Interdire la quadrature du cercle à l’Académie : une décision autoritaire des Lumières, Revue d’histoire des mathématiques 11 (2005), p. 89–139.

Aujourd’hui

L’Académie ne reçoit plus guère qu’une ou deux « preuves » de la quadrature du cercle par semestre, mais les « nouvelles preuves » du théorème de Fermat, ou de la conjecture de Goldbach, ou de Syracuse sont très fréquentes. Nous sommes donc face au même problème qu’en 1775. Faut-il répondre poliment et expliquer pourquoi ces preuves sont fausses ? J’ai tendance à penser que oui, même si, en pratique, ce n’est pas viable. En ne répondant pas, j’entérine une déconnexion avec la population générale, ce dont la science n’a vraiment pas besoin aujourd’hui.

Sur un sujet analogue, la trisection de l’angle (tout aussi insoluble), Underwood Dudley décrit le profil de ces amateurs que les écrivains appellent parfois les « fous littéraires ». Presque toujours, il s’agit de personnes retraitées, très aimables, qui reconnaissent bien volontiers qu’ils ont un bagage scientifique très léger. Il est presqu’impossible de les raisonner et si on pointe du doigt une erreur, on peut être sûr qu’elle sera « réparée » quelques jours plus tard.

Au 18^e siècle, la motivation de beaucoup de quadrateurs était souvent financière. Le bruit, complètement faux, courait qu’une forte somme d’argent serait offerte à la première preuve. Aujourd’hui, il s’agit peut-être plus d’un rêve de reconnaissance.

Une chose importante a changé depuis le siècle des Lumières. Les revues scientifiques, comme les Comptes Rendus de l’Académie des sciences, ont développé un processus de validation par les pairs extrêmement sérieux. Lorsqu’un mémoire est soumis, il est transmis par un membre du comité de rédaction à un ou plusieurs experts anonymes qui écrivent un rapport. Sur la base de ces rapports, le comité de rédaction accepte la publication ou la rejette. Cette procédure n’est certainement pas parfaite et il arrive (peu souvent) que des articles faux soient publiés. Dans une telle situation, la « responsabilité » de l’erreur revient toujours à l’auteur, et pas aux experts consultés ni au comité de rédaction. Même avec ces imperfections, cette validation par les pairs a fait ses preuves.

On pourrait penser que la réaction naturelle face à l’arrivée d’un mémoire « amateur » pourrait être d’encourager sa soumission aux Comptes Rendus. Hélas, les amateurs le refusent systématiquement. L’une des raisons est que les mémoires amateurs sont presque toujours manuscrits alors qu’une revue scientifique exige un style et une présentation typographique précise.

Par ailleurs, les comités de rédaction d’aujourd’hui sont soumis au même problème qu’au siècle des Lumières : faut-il examiner avec soin tous les articles qui leur sont soumis ? Est-il acceptable de renvoyer un article en se contentant de dire à l’auteur que son texte n’est pas adapté au journal ?

Il y a donc une frustration des deux côtés. L’amateur est convaincu que sa découverte est majeure et que l’Académie ne veut pas considérer son travail. En retour, l’Académie est désolée de ne pas pouvoir être utile aux amateurs, qui pourraient avoir légitimement besoin d’aide.

Comme exemple récent, on pourra consulter ce blog dont le titre résume la situation  : Angle Trisection: A Math Problem Claimed to Not be Solvable and Has Not Been Solved for Over 2200 Years is Solved by Mahesh Bubna in 2022.

Le rôle de l’Académie des sciences de l’Indiana

En 1897, Edwin J. Goodwin, médecin dans l’état de l’Indiana (USA), est convaincu qu’il a découvert une solution de la quadrature du cercle. En fait, sa solution est parfaitement loufoque puisqu’elle revient à donner la valeur 3,2 pour π (qui vaut 3,141592… ). Il publie sa découverte dans le premier numéro de American Mathematical Monthly, qui est aujourd’hui une revue de grande valeur. Pour être  précis, il faut dire que ce journal avait eu des difficultés à remplir ce numéro et avait accepté de publier cette « découverte » en faisant précéder l’article de la mention « Publié sous la responsabilité de l’auteur » laissant entendre qu’il n’y avait pas eu de validation par les pairs.

Goodwin dépose alors son mémoire à l’Assemblée nationale en vue de la promulgation d’une loi de l’État de l’Indiana. La commission éducation ne trouve rien à en redire et la « loi » est adoptée fixant ainsi légalement la valeur de π. Goodwin consent à renoncer à ses « droits d’auteur » lorsque sa solution est utilisée à l’intérieur de l’Indiana. Il fallait cependant un deuxième vote au Sénat pour compléter la validation. Il s’en est fallu de peu que le vote soit favorable. Il se trouve que le président de l’académie des sciences de l’Indiana était présent au Sénat par hasard et a pu protester en empêcher que π=3,2 dans la loi (de l’Indiana).

L’article suivant relate les détails de cette histoire surréaliste :

Wilkins, Alasdair. The Eccentric Crank Who Tried to Legislate the Value of Pi, IO9 (Jan. 31, 2012).

La quadrature du cercle

Cette expression est assez courante en français même si le sens qu’on lui donne est variable. Parfois, cela signifie qu’un problème est très complexe, et d’autre fois, de manière plus précise, que ce problème est insoluble.

À vrai dire, aujourd’hui ce problème n’a plus aucun intérêt pratique, mais il a joué un rôle important dans l’histoire des sciences. On se donne un cercle, on dispose d’un compas et d’une règle non graduée. À l’aide de ces outils, il s’agit de construire un carré (d’où la quadrature) qui a la même aire que le cercle initial. Cela revient à savoir si le nombre π peut s’écrire à partir des nombres entiers en utilisant un certain nombre de fois les opérations élémentaires élémentaires +, −, ×, ÷ et la racine carrée √. Il se trouve que c’est impossible, comme démontré par Lindemann en 1882. La quadrature du cercle est donc insoluble.

Les justifications de l’Académie en 1775

Un volume de l’Histoire de l’Académie Royale des sciences contient des justifications de la décision de ne plus considérer de solutions de la quadrature du cercle. Il est intéressant de les commenter car ils ne se limitent pas à « nous avons autre chose à faire ».

Le premier argument consiste à rappeler les règles du jeu : pour résoudre la quadrature du cercle il ne faut utiliser aucun autre instrument qu’une règle et un compas. La plupart des quadrateurs n’en ont pas conscience.

Puis les Académiciens expliquent qu’on dispose de nombreuses méthodes de solutions approximatives, mais que cela ne résout pas le problème. L’image qui illustre cet article, par exemple, est extraite d’un carnet du mathématicien indien Srinivasa Ramanujan datant de 1913 : il s’agit d’une construction géométrique à la règle et au compas qui donne la valeur de π avec 8 décimales par une construction à la règle et au compas relativement simple.

L’argument suivant est plus subtil, et probablement inaccessible à la plupart des amateurs : un problème analogue et un peu plus général a déjà été démontré comme insoluble. Considérez une corde dans un cercle et cherchez à calculer l’aire de la zone limitée par cette corde et l’un des arcs de cercle ainsi définis. Newton et Gregory ont démontré que cette aire ne peut pas s’exprimer algébriquement en fonction de la longueur de la corde. Cela ne montre pas qu’on ne peut pas calculer cette aire lorsque la corde est un diamètre, ce qui est essentiellement la question pour la quadrature du cercle, mais c’est un indice…

Enfin, vient un argument le plus faible, et peut-être le plus sincère : ça fait 70 ans que nous recevons de preuves fausses et ça suffit !

Puis, évocation de la rumeur selon laquelle un prix serait attaché à la solution. On y parle de folie, de risque pour la société, etc. ce qui est pour le moins exagéré. Vingt ans avant la Révolution, d’autres dangers bien plus importants allaient menacer “l’ordre de la société”.

Enfin, un commentaire sur l’utilité de courir après des chimères.

Les Académiciens ont donc pris le temps de justifier sérieusement leur décision. Les Lumières l’imposaient.

 

Étienne Ghys
Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences

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Crédits des illustrations :

• Illustration de couverture : la quadrature du cercle selon Srinivasa Ramanujan, décrite p. 54 du premier volume de ses œuvres manuscrites (source). Image mise à disposition par Petrus3743 sous licence CC-BY-SA 4.0. Les œuvres de Ramanujan sont dans le domaine public.
• Figure 1 : couverture de l’ouvrage de J. P. de Fauré, Dissertation, découverte, et démonstrations de la quadrature mathématique du cercle, à Genève : aux dépens de l’auteur, 1747. Ouvrage du domaine public, disponible dans la Bibliothèque européenne de l’information et de la culture (source).
• Figure 2 : dessin paru dans le Rock Island Argus du 6 mars 1897, se moquant du projet de loi pi de l’Indiana (source). Domaine public.
• Figure 3 : gravure de Benoît-Louis Prévost, frontispice de l’Enclyclopédie de Diderot et d’Alembert, 1772 (source). Domaine public.
• Les autres illustrations sont des captures d’écran d’un volume de l’Histoire de l’Académie royale des sciences pour l’année 1775, publié en 1778 à Paris par l’Imprimerie royale. Le passage concernant la position de l’Académie sur la quadrature du cercle est situé p. 62 à 66.

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