René Thom, géomètre par excellence

 René Thom fut l’un des mathématiciens les plus importants du vingtième siècle, né en septembre 1923 et décédé en 2002.

 

« Au moment où tant de savants calculent de par le monde, n’est-il pas souhaitable que d’aucuns, qui le peuvent, rêvent ? ».

C’est ainsi que se conclut « Stabilité structurelle et morphogénèse », son livre le plus célèbre, écrit en 1968.

Un rêveur, sans aucun doute. Lorsqu’il préparait sa thèse, son mentor Henri Cartan avait le plus grand mal à le canaliser. J’ai eu l’occasion de lire aux Archives de l’Académie leur correspondance, entre Paris et Strasbourg, C’est passionnant. Cartan écrit par exemple :

« Abstenez-vous d’énoncer des théorèmes qui non seulement ne sont pas démontrés, mais dont l’énoncé n’a même pas de sens clairement défini ».

Un collègue de Cartan lui expliquera qu’une bonne dizaine de mathématiciens pourraient fournir les démonstrations manquantes mais que seul Thom était capable d’imaginer de tels énoncés, incroyablement novateurs.

Mais Cartan envoyait aussi des lettres plus gentilles, comme celle-ci :

Son premier article est une note aux Comptes Rendus de l’Académie des sciences, intitulée « sur une partition en cellules associée à une fonction sur une variété ».

Imaginez un paysage, avec ses montagnes, ses vallées et ses cols, entouré par la mer. Puis, c’est un peu d’actualité, faites monter progressivement le niveau de l’eau. Le paysage évolue. On pourra voir apparaître ou disparaître des îles. Thom constate que les moments où le paysage change qualitativement se présentent lorsque le niveau atteint l’un des points qu’on appelle critiques : fond d’une vallée, sommet ou col. Il montre comment on peut encoder ces changements dans un objet de nature algébrique, qu’on appelle aujourd’hui le complexe différentiel de Thom.

Longtemps, une certaine ambiguïté planait autour des mots « cercle » et « sphère ». Dans les manuels scolaires on trouvait l’affirmation que le cercle est la surface limitée par une circonférence. On confondait souvent l’intérieur de la sphère, l’objet solide tri-dimensionnel, avec son bord, qui est bi-dimensionnel. Bien sûr les mathématiciens faisaient la différence mais ils acceptaient une terminologie un peu floue. Ce n’est que dans les années 40 que la distinction entre la sphère et la boule fut explicitée une fois pour toutes. Le dictionnaire de l’Académie française définit le mot « surface » comme « la partie extérieure d’un corps, ce qui le limite dans l’espace ». Même des mathématiciens importants, comme Euler par exemple, au 18^e siècle, ne parlent d’une surface que comme le bord d’un solide. Pourtant, les « surfaces » utilisées par les mathématiciens du 20^e siècle sont abstraites et ne sont en aucun cas définies en termes d’un solide. En dimension quelconque, il s’agit des « variétés différentiables » qui sont les objets élémentaires utilisés en topologie. Quelles variétés sont le bord d’une autre variété, comme la sphère est le bord de la boule ? C’est le but de la théorie du cobordisme, imaginée et développée par René Thom.

La thèse sera soutenue en 1951. Il publiera en 1954 cet article merveilleux qui fut un éblouissement pendant mes années d’étudiant.

Voici Thom en 1956 à Mexico. Il recevra la médaille Fields en 1958 pour ses découvertes dans le domaine de la topologie différentielle, dont il est l’un des pionniers.

Fig. 5

Cette médaille le perturbera beaucoup. Il expliquera qu’il pensait ne pas la mériter, ce qui n’est pas ce que pensent d’ordinaire les médaillés !  Par ailleurs, le développement ultérieur de la topologie différentielle utilisait des outils de plus en plus algébriques, ce qui n’était pas du goût de Thom. Il eut le sentiment d’avoir atteint l’apogée de sa carrière mathématique.

Après sa médaille, il décida de prendre une autre direction, qu’on pourrait qualifier de plus appliquée. Il postule qu’en général un système (par exemple physique ou biologique) se trouve dans un état stable, et qu’à certains moments très particuliers, il passe par des situations qu’il qualifie de singulières ou catastrophiques, en sautant très rapidement d’un domaine de stabilité à un autre. Il s’agissait donc de comprendre la nature de ces singularités et ce sera la naissance de la théorie des catastrophes, qui aura un immense succès dans les années 1970. Thom établit une liste de sept catastrophes élémentaires aux noms poétiques : pli, fronce, queue d’aronde, papillon, ombilic elliptique, parabolique ou hyperbolique. Les étudiants en mathématiques, moi le premier, s’arrachaient son livre « Modèles mathématiques de la morphogénèse » publié en collection de poche en 1974 et dont je peux témoigner que la lecture est pour le moins ardue.

Pour le fun, voici les formules des catastrophes élémentaires.  

 

Il est élu à l’Académie des sciences en 1976.

Fig. 6

Je me souviens très bien de la première fois que j’ai vu René Thom. Je l’ai vu mais je n’ai pas osé lui parler. C’était lors du premier colloque de maths auquel j’ai assisté, à Dijon, en juillet 1978. Sa conférence portait sur la tectonique des plaques. Il y avait quelques géophysiciens dans la salle qui n’y ont rien compris et qui ne se sont pas privés de le faire savoir. Quant à moi, qui était immergé dans un Diplôme d’Études Approfondies de topologie algébrique totalement abscons (semi-simplicial objects in algebraic topology, pour les amateurs), j’ai été subjugué : René Thom appliquait la topologie algébrique dans une situation de géophysique. Ce que j’essayais d’assimiler avec difficulté avait donc une signification dans le monde réel. Le rapport avec la tectonique des plaques ? Eh bien imaginez des plaques solides qui flottent sur une Terre liquide. Cela a un sens de parler du mouvement d’une plaque par rapport à sa voisine, mais peut-on dire que les plaques flottent par rapport à une sphère qui serait immobile ? C’est important si on veut donner un sens précis au géoïde ? Je me souviens que René Thom parlait de cocycles, de cobords : une langue que je comprenais et cette conférence est d’ailleurs la seule dont je me souviens de ce colloque.

Parmi les précurseurs, que Thom cite abondamment, il faut au moins mentionner Waddington et Darcy Thompson, tous les deux écossais d’ailleurs. Darcy Thompson publie son magnifique livre intitulé « On growth and forms » dans lequel il essaya d’isoler quelques modèles mathématiques très simples qui peuvent illustrer l’apparition de formes en biologie. Il ne s’agit pas de prévoir mais de comprendre. Et puis Waddington et son fameux paysage épigénétique en 1940. Une bille dévale la pente d’une montagne et on voit qu’il suffit d’une petite force pour que la bille passe par ici ou par là.

Fig. 7

Voici un exemple très naïf d’une catastrophe de type « fronce ». Considérons une douche alimentée par deux robinets indépendants : pour l’eau chaude et froide. Nous tournons les deux robinets continument pour obtenir la température optimale. Qui n’a pas connu ces moments difficiles où l’eau devient tout à coup brulante ou glaciale. La façon dont les deux flux d’eau se mélangent est un phénomène physique extrêmement complexe et il serait impossible de prévoir ces « catastrophes ». En revanche, la théorie de Thom suggère une fronce.

Dans le diagramme, les deux paramètres de contrôle, c’est-à-dire les positions des deux robinets, sont les deux coordonnées dans le plan horizontal. La température de l’eau est la coordonnée verticale. On voit que lorsque les deux robinets sont dans la zone en bleu foncé, la verticale passant par ce point rencontre la surface en trois points : trois températures sont possibles. Lorsqu’on tourne les robinets on se déplace continument sur la surface dans l’espace et parfois la température chute ou augmente brutalement. Dans le plan horizontal, le lieu catastrophique, là où la température change rapidement, est la courbe rouge avec une pointe qu’on appelle cuspidale.

Le mathématicien anglais Zeeman étendit le champ d’applications à des situations de plus en plus variées : émeutes dans les prisons, agressivité du chien, krach boursier etc. La médiatisation de la théorie des catastrophes, à vrai dire parfois outrancière, n’est pas due à Thom mais surtout à Zeeman.

J’ai vu à nouveau René Thom en 1986, à Chapala, au Mexique, et j’ai enfin eu l’occasion de lui parler. Le voici avec sa femme, Suzanne.

Fig. 9

Je vous montre une photo très peu connue… Il se trouve que le dernier jour du colloque coïncidait avec le quatrième anniversaire de ma fille.

Les organisateurs ont eu la gentillesse d’organiser une fête avec mariachis etc., officiellement en l’honneur de ma fille, qui était ravie ! Vous connaissez la tradition : une pinata est pleine de bonbons et les invités, les yeux bandés, tentent de la briser. Voici Thom au travail. Je me souviens qu’il s’en était très bien sorti, mais je me souviens aussi qu’il m’avait avoué par la suite qu’il avait triché !

Bien des critiques furent adressées à cette théorie et Thom les analysa avec le plus grand sérieux et en reconnut souvent la validité. J’y vois un grand sens de l’humilité du scientifique. Par exemple, on lui reprocha de ne pas avoir tenu compte de l’existence de dynamiques chaotiques (dont la théorie se développait alors) ou encore d’avoir construit un outil qui permet de comprendre mais pas de prévoir. Mais le but de la science est-il de prévoir ou de comprendre ?

Il remet en question la nécessité d’une validation expérimentale dans les sciences, ce qui ne fut pas sans engendrer des réactions violentes, mais souvent justifiées, de la part des biologistes. Son livre « Prédire n’est pas expliquer » examine toutes ces questions avec honnêteté et sérénité.

Les polémiques ne sont pas tendres.

Par exemple, dans journal le Monde daté du 12 janvier 1990, André Lwoff, prix Nobel de Médecine, publie une tribune qui commence par :

« Mon confrère de l’Académie des sciences est un éminent mathématicien. Les mathématiques, on le sait, ne sont pas une science, mais une logique. René Thom a voulu cependant s’intéresser à la science. On lui doit en particulier une ‘théorie des catastrophes’, laquelle, comme c’était son devoir, a fait rapidement naufrage. »

Et qui se termine par :

« Il est parfaitement clair que René Thom ignore tout de la recherche scientifique, de la science et des scientifiques. […] Mieux vaut, pour un scientifique, et aussi pour un mathématicien, ne pas s’immiscer dans des domaines qui lui sont étrangers. »

Mais Thom ne mâchait pas non plus ses mots … Voici ce qu’il écrit à propos de Ilya Prigogine, prix Nobel de Chimie en 1977 :

« Que la collectivité scientifique presque entière ait pu se laisser berner par cet escroc en dit long sur l’état d’inculture (scientifique) de l’immense majorité des savants. Il n’y a aucun lien logique entre ordre et dissipativité. »

Exagérations…

Par la suite, il se tournera vers la philosophie d’Aristote. Il s’y reconnait dans bien des aspects, comme celui qui consiste à définir un objet ou une idée à travers son bord. Cela surprenait plus d’un collègue : une médaille Fields qui se réfère à Aristote. Ne faut-il pas un grand courage intellectuel pour remonter le mainstream ? Je me souviens l’avoir invité à l’ENS Lyon en 1991 pour qu’il parle devant les normaliens. Je me souviens de mon émotion lorsque René Thom expliquait les grandes idées de la théorie des catastrophes, ainsi que les critiques qu’on lui avait faites, avant de conclure qu’en effet cette théorie n’avait pas l’ampleur dont il avait rêvé, en physique, en biologie ou en linguistique. Quelle honnêteté ! Après sa conférence, nous sommes allés boire un verre et je lui ai demandé pourquoi il se limitait à des mouvements de types gradients, comme les paysages précédents, comme Aristote l’aurait décrit, et pas les équations du second ordre, f=mg, comme nous l’ont appris Galilée et Newton. La réponse fut surprenante : il se demandait si on pouvait être vraiment sûr que Galilée et Newton avaient raison ! Quel esprit libre ! Si Thom avait passé l’épreuve de physique du baccalauréat en 1991, je me demande ce que l’examinateur aurait pensé.

Sa thèse développait déjà une théorie du « cobordisme » et ses catastrophes ne sont finalement que les traversées du bord d’un domaine de stabilité. « En vérité́ », écrit-il vers la fin de sa carrière, « il existe une réelle unité́ dans ma réflexion. Je ne la perçois qu’aujourd’hui, après y avoir beaucoup réfléchi, sur le plan philosophique. Et cette unité́, je la trouve dans cette notion de bord. »

Les derniers tableaux de Salvador Dali, en 1983, sont intitulés « Série catastrophe » et sont des « hommages à René Thom ». 

Quel est l’héritage de Thom ? Même si la théorie des catastrophes n’est pas aussi puissante que ce qu’il pensait initialement, beaucoup de concepts introduits par Thom sont entrés dans le l’imaginaire et le subconscient de tous les mathématiciens. Même s’il est possible de rencontrer aujourd’hui de jeunes mathématiciens pour lesquels le nom de René Thom n’évoque qu’un lointain souvenir, les idées de stabilité structurelle, de généricité ou de transversalité sont partout dans les mathématiques d’aujourd’hui. Clairement, René Thom était un homme libre qui a changé notre vision du monde.  

Étienne Ghys Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences  

---

Crédits des illustrations

• Figure 1 : René Thom dans son bureau à l’Institut des hautes études scientifiques à Bures-sur-Yvette, vers 1990. Photo Édouard Boubat (source), © Archives de l’IHÉS – Droits réservés.
• Figure 2 : première de couverture de l’ouvrage de René Thom Stabilité structurelle et morphogenèse, Paris : Dunod, 2^e édition, 1984.
• Figure 3 : extrait d’une lettre d’Henri Cartan à René Thom, conservée aux Archives de l’Académie des sciences.
• Figure 4 : incipit de l’article de René Thom, “Quelques propriétés globales des variétés différentiables“, Commentarii Mathematici Helvetici 28, 17–86 (1954).
• Figure 5 : René Thom et d’autres mathématiciens en 1956 à Mexico. Photographie fournie par l’auteur. CC-BY 4.0.
• Figure 6 : René Thom et d’autres membres de l’Académie des sciences, dans la grande salle des séances du palais de l’Institut de France. Photographie fournie par l’auteur. CC-BY 4.0.
• Figure 7 : illustration classique du paysage épigénétique tel que décrit par Waddington. Extrait de l’ouvrage de C. H. Waddington, The Strategy of the Genes; a Discussion of Some Aspects of Theoretical Biology, Londres : Allen & Unwin, 1957.
• Figure 8 : représentation graphique d’une catastrophe de type “fronce”. Figure originale de l’auteur. CC-BY 4.0.
• Figure 9 : René Thom et sa femme Suzanne (née Helmlinger) à Chapala (Mexique), en 1986. Photographie fournie par l’auteur. CC-BY 4.0.
• Figure 10 : René Thom à Chapala (Mexique), en 1986. Photographie fournie par l’auteur. CC-BY 4.0.

---

---