Populeam virgam… Flâneries autour d’un billet d’Ampère – Partie 2
Dans un billet précédent, nous avions débuté l’analyse d’un feuillet d’Ampère conservé aux archives de l’Académie des sciences, mais n’en avions traité qu’une partie. Nous poursuivons ici l’analyse de son recto et verrons qu’il y est question de polynômes, de différences finies, de souris, de décimations et reviendrons sur la mnémotechnique portée par un hexamètre latin.
Au-delà d’exceller dans la versification latine hexamétrique, Ampère était aussi, et surtout, mathématicien et physicien.
Deux polynômes peu contextualisés
On repère, parallèlement au bord gauche du feuillet étudié, deux polynômes.
Le premier, a.x4 + b.x3 + c, n’évoque pas grand chose, hors de tout contexte. Ampère s’intéressait-il à la recherche des solutions de l’équation (égalité à zéro) de ce polynôme en fonction de a, b et c en voulant simplifier des processus de résolution déjà connus ? Est-ce une référence à un phénomène physique particulier puisque ce type de correction quartique intervient parfois dans la modélisation de systèmes passant en mode non-linéaire du fait de perturbations extérieures ? On peut tout envisager mais peu de chances d’avoir un jour la réponse, sauf à retrouver cette expression dans des feuillets plus explicites.
Le second est plus intéressant ; c’est un polynôme générique de degré 5 écrit à la HORNER 1, littéralement :
(ax + b)x + c)x + d)x + e)x
que nous rétablirions aujourd’hui de manière à assurer l’égalité des symboles ouvrants et fermants et, pour une meilleure lisibilité immédiate, en utilisant ”.” comme symbole explicite de multiplication :
[[[[a.x + b].x + c].x + d].x + e].x
Ceci correspond au polynôme :
a.x5 + b.x4 + c.x3 + d.x2 + e.x
L’écriture retenue par Ampère n’est pas anecdotique : c’est encore aujourd’hui la plus efficace au sens de la moins consommatrice d’opérations pour un ordinateur afin d’évaluer la valeur d’une fonction polynomiale. C’est donc la plus rapide en temps : serait-ce la raison pour laquelle Ampère choisit cette formulation ? Un élément de preuve numérique de cette rapidité ? Voici les rapports de temps (r) obtenus sur un ordinateur portable2, selon la programmation “brute-force” en langage PYTHON pour des polynômes de degré respectif 3, 5 et 7 :

L’approche “à la Horner” remporte avec brio le concours CPU. Sans doute Ampère aurait-il adoré l’algorithmique et les centres de traitement automatisé de l’information, ancêtres des supercomputing centers. Peut-être aurait-il correspondu avec ses contemporains tels que Charles BABBAGE (1791 – 1871), un des précurseurs de l’informatique qui s’inspira des cartes perforées utilisées dans les métiers à tisser de type JACQUARD (1752 – 1834), ou dans les orgues de Barbarie, pour construire une machine à calculer analytique : les cartes perforées ont été utilisées jusqu’au début des années 1980 en informatique. En voici une3, typique du format IBM breveté dès 1928 :

Sans doute Ampère aurait-il été également intéressé par les travaux d’Ada LOVELACE (1815 – 1852)4, fille du poète lord BYRON (1788 – 1824), auteure du premier programme informatique, codé sur carte perforée pour le calculateur imaginé par BABBAGE.
Le “triangle inversé”
En bas du document se trouve une sorte de triangle, regroupement de six lignes (notées ici L1 à L6) de nombres entiers. On y remarque que l’on passe d’une ligne à l’autre par simples retranchements successifs de deux nombres consécutifs :
L1 : 4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 2 1
L2 : 5-4 = 1 ; 2-5 = -3 ; 1-2 = -1. . .
d’où L2 : 1 -3 -1 2 -2 0 1 0 1 -2 1 0 -1
Et à l’identique pour les autres lignes selon ce procédé. Pour comprendre ce que fait Ampère, il faut un petit rappel mathématique :
Etant posées N abscisses (xi) associées aux ordonnées (yi) (i = 1. . . N), on montre qu’il existe un polynôme P (x) de degré inférieur ou égal à N-1 tel que P(xi) = yi(i= 1. . . N).
La problématique est dans la formulation de degré inférieur ou égal à N-1.
Comment trouver le plus petit degré du polynôme qui convienne ? La solution est connue depuis au moins le XVIIIe siècle et repose sur la technique dite des différences finies.
Commençons par un exemple, en supposant que l’on ait comme ordonnées :
(-119, -23, 1,1, 25, 121, 337)
Appliquons les différences successives :

Il a fallu 4 lignes pour arriver à une ligne présentant des différences constantes. Selon l’approche par différences finies, il existe donc un polynôme de degré 3 qui passe par les 7 ordonnées initiales données en L15. A quoi cela sert-il ? A trouver le plus petit degré du polynôme passant par des ordonnées prédéfinies, ce qui se fait sans même avoir à en connaître les abscisses associées. Applications ? Mnémotechnique et/ou cryptographie6. L1 comprend 7 nombres un peu difficiles à retenir : ici, on n’a plus qu’`a retenir les coefficients du polynôme de degré 3 : 1, -3, 2, 1. On n’a pas à retenir le degré du polynôme : comme il s’agit d’une séquence de 4 nombres on sait qu’il est de degré 3. Donc de 7 nombres compliqués à retenir, on s’est ramené à la mémorisation de 4.
Revenons au triangle d’Ampère. Complété (en gras et italique), il se présente ainsi :
| L1 : | 4 | 5 | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | |
| L2 : | 1 | -3 | -1 | 2 | -2 | 0 | 1 | 0 | 1 | -2 | 1 | 0 | -1 | ||
| L3 : | -4 | 2 | 3 | -4 | 2 | 1 | -1 | 1 | -3 | 3 | -1 | -1 | |||
| L4 : | 6 | 1 | -7 | 6 | -1 | -2 | 2 | -4 | 6 | -4 | 0 | ||||
| L5 : | -5 | -8 | 13 | -7 | -1 | 4 | -6 | 10 | -10 | 4 | |||||
| L6 : | -3 | 21 | -20 | 6 | 5 | -10 | 16 | -20 | 14 | ||||||
| L7 : | 24 | -41 | 26 | -1 | -15 | 26 | -36 | 34 | |||||||
| L8 : | -65 | 67 | -27 | -14 | 41 | -62 | 70 | ||||||||
| L9 : | 132 | -94 | 13 | 55 | -103 | 132 | |||||||||
| L10 : | -226 | 107 | 42 | -158 | 235 | ||||||||||
| L11 : | 333 | -65 | -200 | 393 | |||||||||||
| L12 : | -398 | -135 | 593 | ||||||||||||
| L13 : | 263 | 728 | |||||||||||||
| L14 : | 465 | ||||||||||||||
Il faut ici attendre L14 pour trouver une ligne constante : le polynôme permettant de retrouver les 14 valeurs de départ est donc de degré 13. . . Il faudra retenir les 14 nombres initiaux ou les 14 coefficients du polynôme pour retrouver les 14 valeurs initiales de la ligne L1. L’affaire n’est guère rentable côté mnémotechnique d’autant plus que ces coefficients n’ont rien d’évident (que ce soit pour les déterminer ou pour les retenir). Ampère n’a pas eu de chance dans le choix de sa ligne initiale ! C’eût d’ailleurs été remarquable qu’avec des coefficients choisis a priori au hasard, il en fût autrement. On peut cependant s’interroger sur le choix de la première ligne :
4, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 1
Admettons que chaque terme en ait été tiré aléatoirement dans l’ensemble {1,2,3,4,5}, la probabilité de tomber sur cette séquence (tirage ordonné avec remise et répétition) est de une chance sur 6.1 milliards. Il est cependant peu probable qu’Ampère ait fait ce choix au hasard car cette séquence est en fait bien connue ainsi que nous allons le voir. Mais pour ce faire, il est nécessaire d’emprunter quelques chemins de traverse.
Un chat et des souris7
Une souris blanche invita un jour 12 souris noires à jouer avec un chat. Le chat se retrouva ainsi au centre d’un cercle constitué de 13 souris, dont 12 noires et 1 blanche.
– Hé, le matou ! Tu connais les règles du jeu maintenant.
– Oui : je dois parcourir votre cercle, continument et dans un même sens, et faire semblant d’en croquer une sur treize à chaque parcours.
– On est bien d’accord sur le sens à donner à “faire semblant de croquer” ?
– Oui, oui : je donne juste un petit coup de patte pour dégager les élues successives. Et je m’engage à ce que ma dernière friandise la dernière élue soit la souris blanche. Certes, 13 n’est pas le plus heureux des nombres…
– Tu as tout compris !
– Hep ! Laissez-moi un peu de temps pour savoir par où commencer à compter !
Le chat se mit à réfléchir à l’énigme posée mais finit par s’endormir. A son réveil, il découvrit que les souris, lassées d’attendre, s’étaient toutes égaillées et avaient repris une activité murine normale.
Le problème Ψ (m, n, k, v)
Anecdotique mathématique récréative ? Certes… mais c’est la base d’un problème pas si simple connu sous le nom de décimation sélective en arithmétique, lequel a quelques conséquences pratiques et algorithmiques. Supposons que nous ayons deux ensembles d’objets contenant respectivement m et n éléments disposés en cercle. Supposons que l’on démarre un processus de suppression consistant à éliminer consécutivement 1 élément sur k : en quelles positions les m objets doivent-ils se positionner par rapport aux n afin d’être épargnés ?
La question paraît simple… mais est insoluble : point de solution analytique ni d’algorithme programmable tant que ne sont pas introduites plusieurs contraintes rendant l’affaire déterministe. On note ici par v l’ensemble des contraintes requises {vi}, aisément programmables que ce soit par approche numérique, alphabétique, booléenne ou autre :
• v1 : choix d’une référence absolue, point de départ noté 1, de la numérotation des positions sur le cercle ;
• v2 : définition d’un sens de numérotation, horaire ou anti-horaire, pour identifier les positions8 ;
• v3 : définition d’un point de départ à partir duquel démarre le décompte des positions de décimation ;
• v4 : définition du sens de décimation, horaire ou anti-horaire ;
• v5 : choix du processus de décimation :
– itératif : itérations sur le cercle constitué ;
– non-itératif : un seul parcours sur le cercle constitué.
• v6 : inclusivité (ou non) du point de départ dans les comptages… dans toute la suite on considère que l’incrément k est inclusif. Par exemple, si on part d’une position numérotée 6 et que k vaut 3, il faudra compter 6, 7, 8 et non 7, 8, 9.
Il est une convention implicite : la position v3 n’est pas décimée au démarrage du processus. Le problème des 13 souris se définit par Ψ(1, 12, 13, v) avec, par exemple, comme contraintes {vi} :
• v1 : la souris blanche ; v2 : sens horaire ;
• v3 = inconnue ; v4 = v2 ; v5 = itératif
La réponse au problème Ψ (1, 12, 13, v) est alors v3 = 7 : c’est à partir de cette position de souris noire que le matou doit commencer son comptage, en ne l’excluant pas du cercle au début du premier tour9.
L’étude générale du problème Ψ (m, n, k, v) n’a rien de trivial10. Son origine est fort ancienne et nous ramène à l’Antiquité.
Le cas Ψ (1, 40, 3, v)
C’est a priori, le point de départ, moins amusant que la version félin/souris. Mettez 41 personnes en cercle, numérotez-les de P1 à P41, particularisez-en deux, l’une, P1 servant de point de départ de comptage, la seconde, dite P ∗, étant à préserver. Partant de P1, procédant de 3 en 3, faites tuer P3 par P6, puis P6 par P9… et poursuivez, selon le cercle et ses vacances successives, jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une unique personne P qui ne pourra être tuée puisqu’il n’y aura plus personne pour le faire. La question est simple : quelle est, dans le cercle constitué, la position P ∗ ? La tradition ramène usuellement cette problématique à un texte de l’historien Flavius JOSEPHE (ca 37/38 – 100), Guerre des Juifs, qui relate le siège mené en 67 par l’empereur VESPASIEN (9 – 79) de la ville de Jotapata11, ville dont il était gouverneur : acculé dans une caverne avec 40 de ses soldats, résolus à ne pas se rendre aux légions romaines, ils auraient choisi cette méthode de suicide collectif par décimation au sens Ψ (1, 40, 3, v)12. Quelle que soit la réalité historique et la façon dont les choses se sont effectivement passées, la problématique Ψ (m, n, k, v) porte aujourd’hui le nom générique de problème de JOSEPHE. Un cas spécifique va nous ramener au feuillet d’Ampère.
Le cas Ψ (15, 15, 9, v)13
Le problème de JOSEPHE a été repris sous plusieurs formes, à toute époque : citons ben EZRA (1092-1167), TARTAGLIA (1500-1557), CARDAN (1501-1576) ou encore CHUQET (1445 – 1488) sous plusieurs formes. Une formulation usuelle est la suivante :
Un bateau qui transporte 15 Chrétiens et 15 Turcs est assailli par une tempête. Afin d’alléger le bateau, le capitaine propose de jeter 15 personnes à la mer. Pour choisir les victimes, les passagers sont placés de façon circulaire et, à partir d’un certain point, chaque neuvième homme doit être sacrifié et cela toujours de neuf en neuf. De quelle façon les 15 Chrétiens doivent-ils se positionner pour être sauvés ?
Si on prend les conventions :
• v1 : un Chrétien ; v2 : sens horaire ;
• v3 = v1 ; v4 = v2 ; v5 = itératif
les Chrétiens doivent occuper les positions :
1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 14,
15, 17, 20, 21, 25, 28, 29
et donc les Turcs les positions :
5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 18,
19, 22, 23, 24, 26, 27, 30
Les positions de décimation sont alors : [9,18,27,6,16,26,7,19,30,12,24,8,22,5,23].
En regroupant l’ensemble des positions de départ initiales, on obtient :
(1,2,3,4) (5,6,7,8,9) (10,11) (12) (13,14,15) (16) (17)
(18,19) (20,21) (22,23,24) (25) (26,27) (28,29) (30)
Si on réécrit cette séquence non plus en positions individuelles mais selon la taille des sous-groupes que constituent des personnes adjacentes de même religion, on arrive à :
4 5 2 1 3 1 1 2 2 3 1 2 2 1
C’est exactement la séquence initiale choisie par Ampère pour la première ligne de son triangle inversé ! Hasard ?
Mais comment se souvenir de cette séquence de 14 nombres ? La réponse se trouve dans un hexamètre qui va boucler la boucle de ce feuillet :
populeam virgam mater regina tenebat
Ce vers14, et la mise en forme circulaire qui est présentée en figure 1, se retrouvent dans le manuscrit de CHUQUET (1445 – 1488)15, édité partiellement en 1880/1881. v1 est indiqué ici par la toute première position occupée à droite de la croix, le sens de numérotation et de décimation est clairement horaire. On notera l’erreur du copiste : matre, là où ne peut convenir que mater. Codons naïvement les voyelles selon la correspondance :


Fig. 1 : Populeam virgam
Bilan : de 30 positions individuelles à retenir, on s’est ramenés à une série de 14 nombres entiers, puis à un hexamètre de 5 mots, encore plus aisément mémorisable en cas d’urgence maritime.
Qu’a voulu faire Ampère avec cette première ligne ? Trouver un polynôme codant cet hexamètre et la solution d’un problème de JOSEPHE ? Un indice va dans ce sens : la ligne L6 du triangle qu’Ampère ne termine pas. Arrivé à ce point, il a compris que le degré du polynôme devrait être d’au moins 5. . . soit, au minimum, 6 coefficients à retenir. Ce n’est pas mieux que les 5 mots qui constituent l’hexamètre.
On peut aussi se demander d’où lui est venu ce choix de vers initial. Le fait que l’exposé du problème de JOSEPHE ait été repris par TARTAGLIA et son contemporain/compétiteur CARDAN, tous deux férus de polynômes, n’y est peut-être pas anodin, de même qu’il a pu avoir connaissance de l’ouvrage de CHUQUET ou de celui de BACHET (1581 – 1638) qui fournit une version française de cette mnémotechnique sous forme d’un distique heptasyllabique16 :

Il serait surprenant qu’Ampère n’eût pas eu connaissance de leurs travaux. Il faudrait procéder à une analyse très fine des inventaires de sa bibliothèque17.
Conclusion : Ut mundum noscas
On n’aura commenté, dans ces deux billets, que le recto d’un seul feuillet d’Ampère, au cours d’une promenade littéraire et mathématique donnant un très bref aperçu de ses centres d’intérêt qui s’étendent bien au-delà de la seule physique pour laquelle le “Newton de l’électricité”, ainsi que le surnomma MAXWELL (1831 – 1879), est essentiellement connu. Il reste beaucoup à étudier dans l’ensemble des archives qu’il nous a léguées, et ce dans des domaines très variés et parfois inattendus : la connaissance du monde reste un chemin ouvert.
Remerciements
L’auteur tient à remercier le personnel des archives de l’Académie des sciences pour son accueil.
Olivier PARISEL
Laboratoire de Chimie Théorique
LCT – UMR 7616
Crédits des illustrations
Illustration mise en avant : Une souris blanche, un chat et douze souris noires… Cette illustration a été générée avec l’aide de l’IA et est librement inspirée du texte ”Catching the mice”, issu de Amusements in Mathematics, par H. E. DUDENEY (1917)
Figure 1 : Populeam virgam, source Le Triparty en la science des nombres : publié d’après le manuscrit fonds français n°1346 de la Bibliothèque nationale de Paris / par maistre Nicolas Chuquet Parisien, Nicolas Chuquet, Aristide Marre, Bibliothèque nationale de France, département Sciences et techniques, 4-V-1236
- W. G. HORNER (1786 – 1837), mathématicien anglais. [↩]
- Ces temps relatifs ont été déterminés, toute chose étant égale par ailleurs, au moyen d’une simulation faisant intervenir environ un milliard d’itérations pour chaque degré et pour chacune des trois programmations proposées. [↩]
- Collection personnelle de l’auteur. [↩]
- Le langage ADA, créé à la fin des années 1970, est ainsi appelé en son honneur. On notera par ailleurs qu’une société mondialement connue pour ses cartes graphiques a récemment nommé “AMPERE” et “ADA” deux de ses derniers modèles de microarchitectures GPU. [↩]
- La méthode ne fournit que le degré minimal du polynôme. La détermination du polynôme requiert un peu plus de travail et la connaissance explicite des abscisses (xi), travail facilité si les (xi) sont en progression arithmétique. Si on choisit, comme abscisses, par exemple, une telle suite d’incrément +2, (-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8), pour les ordonnées considérées ici en L1, le polynôme est alors : x3 – 3.x2 + 2.x + 1. [↩]
- Exemple simpliste. Supposons que les 7 ordonnées précitées correspondent aux 7 roues crantées (molettes) gouvernant l’ouverture d’un coffre-fort, leur signe indiquant s’il faut les tourner de droite à gauche ou de gauche à droite. Comment faire pour transmettre ces codes à 3 personnes dont aucune, seule, n’aura la solution complète ? Facile : j’envoie à la première la liste ordonnée (+1, -3,+2,+1), coefficients d’un polynôme de degré 3, à la deuxième (-4), premier terme d’une série d’abscisses, à la troisième (+2), incrément d’une série arithmétique. [↩]
- Ce paragraphe et l’illustration associée sont librement inspirés du texte ”Catching the mice”, issu de Amusements in Mathematics, par H. E. DUDENEY (1917). [↩]
- Notons, qu’une fois établie, la numérotation est immuable et n’est pas réinitialisée au fur et à mesure du processus de décimation : les positions laissées vacantes continuent à être considérées dans les décomptes. [↩]
- Voici alors l’ordre de sortie des souris noires : [6,7,9,12,3,11,8,10,2,4,5,13]. [↩]
- On pourra consulter, par exemple :
Le problème de Flavius Josephe par J. LEFORT (2004) ;
The Josephus problem par L. HALBEISEN & N. HUNGERBUHLER (1997). [↩]
- Aujourd’hui Jodfat, en Galilée, au nord d’Israël. [↩]
- Les conditions initiales peuvent être analogues à celles données précédemment pour le problème Ψ (1, 12, 13, v). Il reste à définir v1 : les 40 soldats étant indifférenciés, n’importe lequel convient et on peut imaginer que le sujet n°1 fut désigné, se désigna, fut tiré au sort. Une fois connu, la position P ∗ est la n°31. [↩]
- On en trouvera des études historiques, selon différentes époques et cultures, dans :
Autour du problème de Josèphe, par L. SIGNAC (2012) ;
Le jeu des quinze croyants et des quinze infidèles : variations sur la violence, par P. AGERON (2019) ;
autres variantes, japonaises (paragraphes 17 à 19). [↩]
- Une traduction littérale, la reine mère tenait une branche de peuplier, manquerait l’aspect marial de ce vers. La mater regina est la Vierge, mère et reine, patronne des marins, rappelée par le rapprochement phonétique virgam/virginem et l’allusion au peuplier. [↩]
- Le triparty en la science des nombres (1484), Bibl. nat. Fr., ms. fr. 1346. [↩]
- On notera l’orthographe ”falliras”, rare, même pour l’époque. Mais en faire un plus convenant ”failliras” anéantirait la séquence à retenir par le simple rajout d’une voyelle. [↩]
- On dispose de deux inventaires de la bibliothèque (parisienne ?) d’Ampère : Arch. Acad. Sc., fonds Ampère, carton XXVI, chemise 391. Notons que ce carton contient également un document essentiel : l’identification qui a été faite des ouvrages figurant dans ces deux inventaires par la Société des Amis d’Ampère. Quelques uns restent à identifier. L’inventaire après décès de 1836 mentionné dans le billet précédent n’apporte pas grand chose : certes y sont mentionnés des livres, par discipline, mais sans descriptif individualisé. [↩]
OpenEdition vous propose de citer ce billet de la manière suivante :
Olivier Parisel (25 mars 2025). Populeam virgam… Flâneries autour d’un billet d’Ampère – Partie 2. Vie des sciences. Consulté le 10 mai 2026 à l’adresse https://doi.org/10.58079/13ixf

